парадоксы импликации

ПАРАДОКСЫ ИМПЛИКАЦИИ (от греч. paradoxos — неожиданный, странный и лат. implicatio — сплетение, переплетение) (и логического следования) — проблемы, решения которых потребовала задача формальной экспликации условной связи и логического следования средствами символической логики, послужившая основой создания самостоятельного направления в современной символической логике (см. Релевантная логика). Существуют несколько разновидностей этих парадоксов. Первое основание для деления связано с различением логически истинных высказываний (т.е. таких, логическая форма которых является логическим законом) и недетерминированных. Возможны две ситуации:

когда логически недетерминированное условное высказывание противоречит интуиции — это парадоксы интерпретации, или материальные парадоксы;

когда логически истинное условное высказывание противоречит интуиции (формальные парадоксы).

Материальные парадоксы. Рассмотрим следующее сложное высказывание, в котором используется союз «если..., то», выражающий условную связь. «Если 2+2 = 5, то Москва — большой город». Логическая форма этого высказывания — импликативная формула р z> q. При данной интерпретации нелогических терминов антецедент формулы ложен, а консеквент — истинен. Следовательно, вся импликативная формула принимает значение «истина». Но в то же время смысл анализируемого высказывания явно противоречит интуиции. Одна из очевидных причин подобных парадоксов — в несоответствии условий истинности импликативных формул интуитивному представлению об условной связи.

Парадоксы второго типа (формальные парадоксы) связаны с понятиями логического закона и следования в классической логике. Если В — логический закон, то для всякой формулы А имеет место: а) А |= В и b) —& |= А. В силу упомянутых выше условий истинности материальной импликации, в классической логике имеют место следующие законы: |= ( А & -А) з В, =А => (В v -Д). Обобщением этих законов могут служить два парадоксальных принципа: (1) «ложь влечет все что угодно» Л э ( А э В), и (2) «истину влечет все что угодно» — А э ( В э А ). При формулировке этих законов понятие следования напрямую не использовалось, поэтому их называют П. и. (материальной). Существуют и другие импликативные формулы, выражающие парадоксы не столь явно: (А з В) у(ВзА)или((АзВ)зА):эА.

В истории логики известны попытки преодоления подобных парадоксов. Напр., следуя традиции, восходящей к идеям Диодора Кроноса, утверждение о наличии условной связи (обозначим его А —> В) можно считать истинным, когда невозможно, чтобы А было истинным, а В — ложным. Подобное понимание условной связи как необходимой нашло выражение в системах модальной логики, построенных К. Льюисом, через понятие строгой импликации — А ос В < = > О (А з В). Однако оказалось, что хотя для строгой импликации не имеют места парадоксы следования и импликации, но возникают новые П. и. строгой: j=_s, С А ос (В ос A); f =_S2 — О А ос (А ос В).

Возникновение этих парадоксов связано с отсутствием той связи по содержанию между антецедентом и консеквентом, которая подразумевается при формализации условной связи.

Кроме перечисленных выше разновидностей формальных П. и. существуют еще и парадоксы модальности, связанные с нарушением требования — случайное не влечет необходимое. Импликативная формула, выражающая условную связь, должна носить необходимый характер. Поэтому формула типа А — > ( В — > С ) может быть истинной только тогда, когда ее антецедент представляет собой импликативную формулу.

Анализ источников разнообразных П. и. и следования позволил подвергнуть методологическому сомнению понятия отрицания, импликации, логического закона и следования, получающие свое уточнение в рамках релевантной логики.

Д.В. Зайцев