парадокс

ПАРАДОКС (от греч. para — вне и doxa — мнение). — 1) В широком (внелогическом) смысле — все то, что так или иначе вступает в конфликт (расходится) с общепринятым мнением, подтвержденным традицией, законом, правилом, нормой или здравым смыслом. Парадоксальными в этом значении могут быть не только суждения (или рассуждения), но и поведение одного человека или группы людей, деятельность какой-либо школы или направления и пр. Такова, например, деятельность футуристического направления в европейском искусстве 10—20-х гг. 20 в. с его лозунгом переоценки всех ценностей классической культуры («во имя прекрасного завтра сожжем Рафаэля, растопчем искусства цветы»). В философии парадоксальным в этом же значении можно считать движение софистов и школу киников, придавших сократовской теории понятий «софистический оборот». Иногда в эту же группу П. заносят и весьма безобидные явления, напр. языковые иррегулярности, обусловленные развитием живой (разговорной) речи (П. в лингвистике), а в школьной математике — элементарные ошибки, связанные с неосторожным использованием запрещенных правил (напр., деления на нуль), что приводит к абсурдным результатам.

2) В узком (логическом) смысле П. — это «ситуация противоречия», либо прямо обусловленная непредикативным характером применяемых понятий, суждений или определений, либо так или иначе связанная с непредикативностью.

Непредикативность (в традиционных терминах ее называют ситуацией порочного круга или автореферентностью) встречается обычно в определениях, когда тот или иной объект вводится (или определяется) через его отношение к некоторой совокупности еще каких-то других объектов, частью которой при этом является и он сам. Такая ситуация может, хотя и не всегда, приводить к параллельному выводу двух импликаций ( А з — I A ) H ( — I A D A ) или, что то же, к эквиваленции (А = —. А), в чем, собственно, и выражается П.

Напр., определяя понятие «множество Рассела» как «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя», мы вводим множество Рассела как непредикативный объект, или, формально, как Хх—,(х Е Х), где х — неопределенное имя для множеств, а Хх — символ абстракции множества (класса). Чтобы убедиться в том, что эта непредикативность приводит к противоречию, достаточно рассмотреть суждение /у (у s Хх —. (х е х) = —i (у £ у)), определяющее расселовский класс. В самом деле, пользуясь обычной аксиомой свертывания и делая подстановку множества Рассела на место переменной у, приходим к противоречию указанного выше вида А = —i A, г д е А это Хх—.(х е х) г Хх-,(х s x).

Вообще, о П. было бы естественно говорить тогда, когда противоречие имеет абсолютный характер, т.е. когда его невозможно исключить. Однако в большинстве случаев довольствуются относительностью противоречия, так что П. означает только несостоятельность тех или иных допущений (посылок, постулатов или аксиом) теории, в которой обнаружены П. Напр., от П., рассмотренного выше, можно избавиться, если ввести определенные ограничения на подстановку в аксиому свертывания или воспользоваться принципом порочного круга, который в вольной и афористичной манере формулировал сам Рассел: «Все то, что охватывает всех, не может быть одним из этих всех», и который, по сути, накладывает запрет на подстановку в выражения, содержащие связанные переменные (подстановкой, проделанной выше, этот запрет был нарушен). Возможны, конечно, и другие решения, представленные (коль скоро речь идет о множествах) в различных множеств теориях и в философских эссе.

Трудно не только обнаружить или объяснить допущения, грозящие П.; еще труднее устранить их, не разрушая теорию. Известно, что ряд классических теорем анализа (напр., теорема Вейерштрасса о существовании точки сгущения в конечном интервале) носят непредикативный характер. Следовательно, с непредикативностью приходится мириться, уповая на то, что не всякая непредикативность приводит к П.

Однако если все же П. обнаружен, первым и очевидным условием проверки на относительный характер противоречия (с целью устранения П.) является проверка на тождественность членов противоречия. Если в паре А и не-А (или в соответствующей ей формуле) невозможно отождествить А в обоих вхождениях, то противоречие будет только кажущимся (термин Больцано). Но для возможности или невозможности отождествления обычно необходима дополнительная информация. Напр., чтобы констатировать противоречие в паре суждений А и не-А, где в первом вхождении А означает «быть в состоянии покоя», а во втором — «двигаться с нулевой скоростью» (оба суждения полезны при обсуждении П. Зенона), необходимо, по меньшей мере, обладать современным понятием скорости поступательного движения тела. В противном случае противоречие будет только кажущимся. А кажущееся противоречие в определенном смысле безвредно, поскольку оно не затрагивается принципом ex falso sequitur quodlibet (или аналогичным ему законом Дунса Скота), принятым в основных логических системах (классической, интуиционистской, минимальной и некоторых др.), и поэтому не в состоянии обесценить теорию.

Другим очевидным условием проверки противоречия на реальность должна быть проверка однородности либо самих членов противоречия, либо аргументов, выставляемых в их защиту. И те, и другие должны лежать в одном интервале абстракции. В частности, отрицательным примером могут служить основные зеноновские П. «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия». Обычно считается, что они относятся к кинематике и направлены на опровержение движения. Поэтому банальный контраргумент «хождением» как будто бы заслуживает внимания:

Движенья нет, — сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Очевидно, однако, что Зенон не собирался ставить себя в смешное положение, отрицая очевидное. Предлагая свои П., он только указал на трудность, с которой сталкивается мысль, если рассматривать математическую модель движения как дискретный процесс последовательного перехода «от точки к точке» по существу (в силу реальности движения) непрерывного отрезка пути. Т е м самым Зенон усматривал апорию в проблеме континуума, а не в проблеме движения. И в этом смысле следует согласиться, что в основном «парадоксальные утверждения представляют собою предложения, которые либо непосредственно заключают в себе понятие о бесконечном, либо так или иначе опираются на это понятие» (Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911. С. 7). И антиномии Канта в этом же смысле следует рассматривать как «П. бесконечного». В широком смысле парадоксальность выступает как свойство философского знания вообще.

Возвращаясь к теме непредикативности, следует заметить, что в области конечного любая непредикативность либо легко устраняется, либо не вызывает проблем. Но в случае с бесконечностью ситуация иная. Мы сегодня, конечно, можем просуммировать бесконечный ряд и найти ту точку, в которой Ахилл догонит черепаху. Но своим превосходством над великим греком мы обязаны классическому «методу предельного перехода». А это далеко не безупречное превосходство с точки зрения интуиционистской модели анализа. Греки предельного перехода не знали. Интуиционисты не хотят его принимать и теперь, поскольку в нем скрыта сомнительная предпосылка, состоящая в том, «что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершенность которой мы не можем себе даже и представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться» (Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979. С. 40). Называется эта предпосылка «абстракцией актуальной бесконечности». Она составляет философскую основу теоретико-множественной математики. Вместе с тем, и метод упрощающих идеализации, которым также предлагается разрешать такого рода трудности, вряд ли можно принять как объяснение онтологического содержания бесконечных процессов «самих в себе», если иметь в виду их физическую суть. Следовательно, и сегодня остается актуальным вопрос, сформулированный С.А. Яновской: «Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием "апории Зенона"?» (см.: Проблемы логики. М., 1963).

Нередко считают, что П. уже тем хороши, что будят творческую мысль, помогая рождению новых идей и концепций. Возможно, это и так, если говорить о мысли, свободной от какой-либо готовой теоретической дисциплины. Но любая дедуктивная теория, опирающаяся на интуиционистскую или классическую логику, связана с условием непротиворечивости, которое как раз и является необходимым условием содержательной (объективной) значимости этой теории. И любопытно, что свобода от П. для таких теорий (для большинства из них) имеет следствием их неполноту, т.е. наличие таких осмысленных (с точки зрения этих теорий) суждений А и не-А, что ни одно из них недоказуемо в этих теориях, даже если какое-либо из них и представляется содержательно истинным (1-я теорема Гёделя). Иначе говоря, вынесение П. за скобки эвристически не менее необходимо, чем их открытие.

По традиции, идущей от Рамсея (1926), принято делить П. на логические и семантические (см. Рамсей Ф.П. Философские работы. Томск, 2003. С. 30—31). Этой традиции следует и «Новая философская энциклопедия» (М., 2001. Т. 3. С. 194—195). Против этого нечего возразить, если термин «логический» толковать достаточно широко, «не формулируя никакого точного критерия для решения вопроса, является ли какая-либо данная система «логической»», а попросту удовлетворяясь тем, что эта система «хоть как-нибудь связана "с анализом мышления"» (Карри X. Основания математической логики. М„ 1969. С. 18—19).

Однако если под логикой понимать чистое исчисление высказываний или предикатов первого порядка, то в них нет ничего парадоксального. Поэтому утверждение, что П. Рассела — это «противоречие в рамках элементарной логики», нуждается, конечно, в разъяснении. А разъяснение приводит нас к тому, что речь идет в действительности о прикладной логике, какой являются, в частности, теоретико-множественная логика или расширенное исчисление предикатов. Только в прикладной логике мы находим индивидуальные предикаты (помимо тождества) и то, что можно назвать гипотезами или предпосылками, которые придают доказательствам относительный (условный) характер и которые, в случае обнаружения противоречий, приходится исключать.

К сожалению, рамсеевская классификация П. не делает различия между чистой и прикладной логикой. А это позволяет перекладывать все беды, связанные с П. (а они-то как раз в допущениях нелогического порядка), на какой-то таинственный противоречивый характер нашего мышления вообще, а недоброжелателям — говорить о «кризисе логики».

М.М. Новосёлов

Лит.: БочварД.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств // Математический сборник. 1944. 15 (57). № 3; Новиков П.С. О логических парадоксах // ДАН СССР. 1947. 56. № 5; Клини С.К. Введение в метаматематик у. Гл. 3. М., 1957; Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Гл. 1. М., 1966; Есенин-Вольпин А.С. Парадокс // Философская энциклопедия. Т. 4. М, 1967; Бахтияров К.И. В сетях парадоксов: поиски выхода // Общественные науки и современность. 1997. № 3. Новосёлов М.М. Аргументы от абстракции и парадоксы // Философские исследования. М., 2004. № 3—4; его же. Абстракция множества и парадокс Рассела (к столетию парадокса) // Вопросы философии. 2003. № 7 (600); Borel E. Lecon sur la theorie des fonctions. Paris, 1928. Note IV (Les «Paradoxes» de la theorie des ensembles); Lackey D. (ed.) Essays in Analysis by Bertrand Russell. L., 1973.