модальная логика

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА — раздел логики, посвященный изучению свойств модальных логических операторов типа «необходимо» и «возможно». К модальным операторам сейчас относят большинство операторов, с помощью которых удается учитывать силу (степень) истинности утверждаемого, хотя с учетом их специфики и выделяют разделы логики, их изучающие, внутри М. л. Примерами таких разделов являются временная логика (операторы «всегда будет», «всегда было» и «когда-нибудь будет», «когда-то было»), логика знаний («агент п знает»), логика доказуемости («в данной теории доказуемо»), динамическая логика («после выполнения программы л») и многие др. Такое расширение предметного поля изучения в М. л. связано с тем, что в этих специфических разделах используются сходные идеи и методы, изначально применявшиеся, как правило, к классическим модальным операторам «необходимо» и «возможно». В то же время эти частные разделы М. л. имеют многочисленные приложения в конкретных областях знания; напр., в философии, основаниях математики, в теоретических основаниях информатики и их практических применениях, в когнитивных науках, лингвистике и др.

До середины 20 в. основным методом изучения модальных операторов был аксиоматический (синтаксический). Хотя впервые правила обращения с модальными операторами были сформулированы Аристотелем, его модальная силлогистика неоднозначно истолковывается исследователями и имеет сейчас лишь историческое значение. По-настоящему точно аксиоматически системы М. л. были сформулированы К.И. Льюисом в первой половине 20 в. и названы им системами SI—S6. Множественность модальных систем связана с тем, что классические модальные операторы в разных контекстах понимаются по-разному, т.е. существуют разные «необходимо» и «возможно», и поэтому они не могут быть описаны заданием одной лишь системы: формулируя модальную систему, мы фиксируем одно из возможных пониманий этих операторов. К. Гедель заметил, что льюисовские системы допускают эквивалентные по множеству выводимых формул формулировки в следующем виде, называемом ныне геделевым: к аксиоматике классического исчисления высказываний гильбертовского типа после обогащения языка связкой (читается «необходимо, что») добавляются модальные аксиомы и модальные правила вывода. Х о т я К. Г е д е л ь рассматривал только льюисовскую систему S4 (модальные аксиомы а(А -> В) -> (оА ->Q5), A — > п А, А ->ппА, модальное правило вывода А/а А, связка О («возможно, что») считается сокращением -"D-i), этот способ и его модификации (напр., иногда в качестве исходной берут связку 0, а считают сокращением —IO^-•, заменяют классическую логику на иную безмодальную основу и т.п.) ныне стали общеупотребительными. Изучаются также аксиоматические системы М. л. генценовского типа — системы натурального вывода, секвенциальные системы; однако переход от геделевских формулировок модальных систем к генценовским часто вызывает значительные технические трудности.

Аксиоматические формулировки модальных систем позволили уточнить и решить некоторые классические проблемы. Так, проблема итерированных модальностей, она же проблема сведения модальностей — каковы ответы на вопросы типа «верно ли, что «необходимо, что необходимо» и «необходимо» суть один и тот же логический оператор?», — в них интерпретируется в виде вопроса о выводимости в данной системе эквивалентности модальностей (в нашем примере эквивалентности апА <-юА). Под итерированной модальностью (коротко — модальностью) в формальной системе понимают слово в алфавите {, 0, • **}. Оказалось, скажем, что в льюисовских системах SI, S2 и S6 бесконечно много попарно неэквивалентных (несводимых друг к другу) модальностей, а в каждой из систем S3—S5 имеется такое конечное множество модальностей, что любая из модальностей эквивалентна одной из модальностей этого множества.

Льюисовские системы изначально не имели точной семантики, и, более того, было доказано, что они не являются конечно-значными, т.е. не могут быть описаны с помощью таблиц истинности с конечным числом истинностных значений. (Хотя почти одновременно с К.И. Льюисом модальные системы как конечно-значные логики строил Я. Лукасевич, но его системы не получили развития в описываемом разделе логики.) С др. стороны, начиная с середины 20 в., были найдены адекватные алгебраические семантики для модальных систем, которые позволили решить многие задачи, связанные с этими системами. Для большинства конкретных систем были доказаны: их финитная аппроксимируемость, т.е. найдено их представление как пересечение конечно-значных логик; разрешимость, т.е. наличие алгоритма, выясняющего по произвольной формуле, является ли она выводимой в этой системе, и многие др. При этом адекватная алгебраическая семантика существует практически для любой модальной системы. Однако эта семантика лишена содержательного смысла, что, помимо прочего, лишает возможности уточнения вопроса о правильности выбора модальных аксиом и правил вывода в соответствии с избранным пониманием модальных операторов.

Для введения содержательной семантики М. л. плодотворной оказалась идея Г. Лейбница: считать утверждение необходимым, если это утверждение справедливо (истинно) во всех возможных мирах. Эта идея была уточнена и развита в виде семантики возможных миров. Кроме содержательности, эта семантика явилась и удобным техническим инструментом исследования М. л. Модели одного из видов семантики возможных миров — реляционной семантики — можно рассматривать как модели классической теории моделей, а модальные формулы — как средство описания классов таких моделей. Существуют пропозициональные модальные формулы (одной из простейших является а()А -> ОпА), которые выразительнее формул первого порядка: описываемые ими классы моделей невозможно описать формулами первого порядка. Это дает некоторым авторам повод считать модальные языки одним из средств описания свойств реляционных структур (классических моделей) и практически сузить задачи М. л. до задач такого рода.

К настоящему времени исследования в М. л. на пропозициональном уровне (на уровне логики высказываний) весьма продвинуты и вширь, и вглубь. Кроме исследований свойств конкретных модальных систем — их полноты относительно того или иного вида семантики, выразительности языка в этой семантике, финитной аппроксимируемости, разрешимости синтаксических свойств типа интерполяционного свойства и свойства дизъюнкции и многого др.— значительный прогресс достигнут в описании классов логик и их свойств. В частности, практически все естественные классы модальных систем оказались имеющими континуальную мощность (т.е. в них систем столько же, сколько действительных чисел), и устройство этих классов является довольно сложным; с др. стороны, созданы инструменты получения модальных систем с заданными свойствами и инструменты исследования создаваемых систем.

Уровень модальных языков первого порядка значительно сложнее. Помимо вопросов о принятии или непринятии тех или иных модальных постулатов — о взаимодействии модальностей с кванторами, с равенством и др.,— в этом случае решения вопросов о построении адекватной и/или содержательно приемлемой семантики весьма сложны технически.

А.В. Чагров

Лит.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1982; Фейс Р. Модальная логика. М., 1974; Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic. Cambridge, 2001; Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford, 1997; Handbook of Philosophical Logic. 2^nd edition. V. 3. Kluwer Academic Publishers, 2001; Fitting M, Mendelsohn R.L. First-Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers, 1998; Hughes G.E., CresswellMJ. A Companion to Modal Logic. Methuen, 1984; Hughes G.E., Cresswell M.J. A New Introduction to Modal Logic. Routledge, 1996; Mints G. A Short Introduction to Modal Logic. CSLI Publications, 1992.