логика отношений

ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ — раздел современной логики, в котором рассматриваются отношения между объектами определенной предметной области (областей). Хотя Л. о. — частный случай логики предикатов, а именно многочленных, или многоместных (и-местных, и > 2), предикатов (свойств и отношений; свойства трактуются как одноместные отношения), изучение отношений составляет особую сферу, особенно когда исследуются двуместные (бинарные) отношения. Обычное обозначение последних имеет вид R₂ (х, у) или х Ry, где х, у — переменные, значениями которых являются предметы заданной области (областей), a R, — какое-либо отношение («раньше», >, «отличаться от» и т.п.), на бинарность которого указывает индекс при знаке предиката (Р, Q, R...). С объемной точки зрения, бинарное отношение — это класс упорядоченных пар (для трехчленных, или тернарных, отношений — это упорядоченные тройки, для четырехчленных — четверки и т.д.) предметов (данной предметной области или областей), для которых действует данное отношение. В общем случае отношение записывается в виде R_n (x, х... xj, что читается: предметых, х_г..., х_п (из заданной предметной области или областей) находятся между собою в отношении R. Если п = 1, то отношение «вырождается» в свойство. При этом знак отношения (свойства) — в зависимости от принятого построения логики — может выступать как метазнак для соответствующего предиката, как переменная для предикатов или как обозначение конкретного отношения либо свойства.

Хотя теория отношений входит в логику предикатов, рассмотрение тернарных (когда п = 3) и особенно бинарных отношений составляет в нем относительно самостоятельный раздел. Тернарное отношение может служить для выражения бинарной операции над предметами данной предметной области, напр., когда R (х, у, z) есть х + у = z, где переменные означают числа из некоторой числовой области.

В случае бинарных отношений, кроме записи R (х, у), применяется запись x R y, что соответствует принятым обозначениям вида х = у, х < у, х -у (х логически влечет у), х муж у и пр. Совокупность первых элементов бинарного отношения {х} называется областью его определения, а совокупность вторых элементов (у) — его конверсной областью, или противообластью. Область и противообласть могут входить в одну и ту же предметную область, но могут относиться к разным областям (ср. приведенные примеры). Бинарное отношение, рассматриваемое как двуместный предикат, т.е. высказывательная форма xRy, где х и у индивидные переменные, обращается в истинное либо ложное высказывание aRb после подстановки вместо х и у предметов (точнее, имен предметов — о, Ъ) из данной предметной области (областей).

Если два бинарных отношения определены на одной и той же предметной области, то для них естественным образом определяются операции объединения и пересечения двух произвольных отношений и дополнения отношения до отношения, являющегося универсальным, т.е. выполняющемся для любых пар предметов данной области; эти операции аналогичны операциям над классами (множествами, объемами понятий). Но для бинарных отношений определена операция, не имеющая аналога в

теории классов: умножение двух отношений. А именно: PQ, являющееся произведением двух отношений, есть такое отношение xPQy, которое обращается в истинное высказывание, когда в предметной области существует предмет z такой, что верно как xPz, так и zQy; так, отношение «а есть внук Ь» есть произведение отношений «сын» и «дочь», если сущесвует такой человек с, что «а есть сын с» и «с есть дочь Ь».

Существует ряд бинарных отношений, которые особенно важны с гносеологичекой точки зрения. Это отношения эквивалентности (отношения типа равенства), сходства (толерантности), порядка — строгого и нестрогого и др. Эти отношения различаются выполнением либо невыполнением свойств: 1) рефлексивности, 2) транзитивности, 3) симметричности и 4) антисимметричности. Свойство (1) состоит в том, что для любого х из некоторой предметной области М верно xRx, т.е. любой предмет находится к самому себе в данном отношении; свойство (2) — в том, что для любых предметов х, у из М xRy влечет обратное отношение yRx; свойство (3) — в том, что если верно xRy и yRz, то верно xRz; свойство (4) — в том, что если xRy и yRx, тохпу один и тот же предмет. Отношение эквивалентности обладает свойствами (1), (2) и (3), отношение сходства — свойствами (1) и (3) (в частности, оно не транзитивно). Отношение, которому присущи свойства (1), (2) и (4), называется (нестрогим, частичным) порядком; это отношение типа х < у. Транзитивное и антисимметричное отношение (при котором если верно xRy, то х отлично от у) образует строгий порядок (отношение типа х < у); это отношение линейно в том смысле, что для любых х, у либо xRy, либо yRx.

Бинарые отношения, обладающие теми или иными из указанных (и др.) свойствами, выражают различные стороны познавательных процессов. По крайней мере, начиная с Лейбница, они используются при формализации мышления. Было выяснено, что отношение эквивалентности лежит в основе абстрагирующе-обобщающего мышления. Предметная область М, на которой оно определено, разбивается на непересекающиеся классы (классы эквивалентности), в совокупности ее исчерпывающие. Эти классы оказываются некими абстрактными объектами, имеющими то свойство, что в каждый из них входят предметы, одинаковые («равные») с точки зрения данного отношения (равенства чисел, веса материальных вещей, стоимости товаров и т.п.). Отношение сходства разбивает область М на классы толерантности, в каждый из которых входят сходные предметы. На отношениях типа равенства основаны методы решения уравнений в алгебре логики. Идеи равенства и сходства предметов (по их признакам) пронизывает учение об индуктивных методах исследования причинных связей, разработанных Дж.С. Миллем. Зарубежное (Ж. Лашелье, Ш. Серрюс) и отечественное (М.И. Карийский, Л.В. Рутковский, СИ. Поварнин) направление Л. о., претендовавшее на замену и обобщение традиционной силлогистики, было основано на правилах замены равным и сходным.

Отношения порядка играют большую роль в логических исчислениях, т.к. логическое следование (доказуемость формул) упорядочивает высказывания и их формульные образы по-разному — от линейного порядка, преобладающего в аксиоматических конструкциях, до тех или иных видов частичного порядка (древовидные структуры). Алгебраический подход к представлению «законов мышления» существенно использует порядковые структуры: булева алгебра является частным случаем решетки, а она есть вид частично упорядоченного множества.

В социальных науках Л. о. часто используется в «геометрическом варианте» теории бинарных отношений, использующем графы. С помощью последней в науках о человеке и обществе (культурология, социология, социопсихология, этнология, генеалогия и др.) представляются те или иные конкретные отношения; напр., системы родства, важные в традиционных обществах. При описании многих социумов бинарных отношений недостаточно и требуются трех- и более местные отношения.

Если отношения носят эмпирический характер, то нередко приходится ослаблять те или иные из их свойств; напр., для бинарного отношения предпочтения альтернатив ограничивать действие транзитивности. Обширная математическая и социопсихологическая проблематика теории шкал проникнута категориями отношений, обогащенными использованием понятия величины.

Одна из главных гносеологических трудностей Л. о. связана с описанием иерархии «свойства—отношения», когда предметом рассмотрений становятся свойства отношений, отношения между свойствами, свойства свойств и отношения между отношениями, а также операции над свойствами и отношениями различных уровней абстрактности. Основной же философской проблемой Л. о. является вопрос о «степени» реальности отношений в их сравнении со свойствами и о сравнении «силы» бытия свойств и отношений с бытием индивидов. Различные ответы на возникающие здесь вопросы приводят к разным вариантам интерпретации наглядно-эмпирических и абстрактно-теоретических аспектов познания.

Б.В. Бирюков

Лит.: трейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971; Шрейдер Ю.А., Бирюков Б.В. Категория отношения и ее когнитивные аспекты // Вестник Московского университета. Серия 7. 2002. № 3; Серрюс Ш. Опыт исследования значения логики. М., 1956; Бирюков Б.В., Новосёлов Н.М. Свойства объяснения и порядок в системе знания // Единство научного знания. М., 1988.