эпистемическая логика

ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — ветвь модальной логики. В широком понимании ее задачей (как и доксастической логики при таком же понимании) является анализ сложно-подчиненных предложений с придаточными, вводимыми союзом «что» и глаголами главного предложения «знать», «верить», «считать», «полагать», «сомневаться». Напр., «Брут не знал, что число римских цезарей из рода Юлиев больше, чем 1», «Колумб верил, что он проложил новый морской путь в Индию» и т.д. Такие предложения выражают отношения между лицом (агентом) и мыслью, выраженной придаточным предложением. В логической литературе их называют пропозициональными или познавательными установками. В узком смысле Э. л. предполагает логический анализ только пропозициональной установки знания, а доксастическая логика — анализ только пропозициональной установки веры (мнения).

Познавательные установки имеют вид: «я знает, что А» (символическая запись — КА), или «я верит, что А» (символическая запись — В_аА), где я — лицо (агент), а А — любое предложение (точнее, мысль, выраженная в предложении А). Их можно рассматривать как специальные бинарные отношения между агентом а и предложением А или как модальные операторы знания и веры (мнения) с агентом а. — i / C — А (соответственно —S —А) выражает совместимость А с знанием агента а (соответственно — с его верой).

Эпистемическая и доксастические логики успешно стали развиваться особенно после того, когда Г. фон Вригт (без указания агента), а позже Я. Хинтикка (учитывая агента знания и веры) предложили рассматривать познавательные установки как модальности, т.е. выражения, содержащие модальные операторы.

Существуют два существенно отличающихся подхода к анализу эпистемических (доксастических) модальностей. Согласно первому из них, необходимо отвлечься от реальной ограниченности способности эмпирического агента прослеживать дедуктивные связи и в качестве агента рассмотреть идеализированное лицо, создающий теорию субъект, лишенный всех др. индивидуальных качеств (философ предпочел бы термин «познающий субъект»). Такую позицию занимал Хинтикка в своей книге «Знание и мнение» (1962). Знание он отождествлял с осмысленным знанием и поэтому самой подходящей логикой модальности знания он считал эпистемическую интерпретацию системы Льюиса S4.

Аналогичную позицию, основанную на известной геделевскую трансляции интуиционистской логики в S4, отстаивают С. Шапиро, Н. Гудмен и др. Модальный оператор знания эти авторы интерпретируют как «идеальную или потенциальную познаваемость», или же как «принципиальную доказуемость», и не ограничивают его доказуемостью в какой-либо конкретной дедуктивной системе, напр. в арифметике Д. Пеано. Указанная интерпретация имеет лишь поверхностное сходство с системами, в которых модальный оператор интерпретируется как предикат доказуемости в формальной арифметике Пеано, а итерации модального оператора трактуются с помощью арифметизации.

Для вышеуказанного подхода к интерпретации эпистемических модальностей, одним из методов их успешного исследования является стандартная семантика возможных миров. В стандартном возможном мире каждое атомарное (т.е. не содержащее логических операторов) утверждение либо истинно, либо ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным. Эта особенность легко индуцируется на любое утверждение А, не содержащее модальностей знания и веры. Утверждение же К_аА (В_аА) истинно в мире w тогда и только тогда, когда А истинно в каждом достижимом из w для а возможном мире и. Как видим, истинность К А (В А) зависит от непустого множества возможных миров, отношения достижимости для а (кратко й-достижимости) между возможными мирами и оценки предложения А в возможных мирах. Такая трактовка полностью соответствует интерпретации модального оператора знания в терминах потенциальной познаваемости или принципиальной доказуемости, а для модального оператора веры — интерпретации в терминах имплицитной, подразумеваемой веры.

Сторонники второго подхода к исследованию эпистемических модальностей считают, что идеализация, принятая представителями первого подхода является крайне абсолютизированной. Лицо эпистемической установки фактически отождествляется с возможным знанием, включающим в себя все его логические следствия, со всеведущим «универсальным разумом», Богом. Из такого анализа полностью ускользает ограниченность горизонта знаний реального лица, его логических и познавательных возможностей, — ограниченность, которая с использованием более слабой идеализации непременно должна учитываться адекватной логической теорией эпистемических и доксастических установок.

При таком осмыслении модальностей знания и веры они отождествляются с собирательным образом реальных лиц или с определенным уровнем в развитии нашего знания или уровнем формирования мнения. В таком случае ни субъект познавательной установки знания или веры, ни определенный уровень развития нашего знания или формирования мнения не могут включать в себя их возможные следствия, и поэтому логическое всеведение уже приобретает вид парадокса, который следует устранить. Сомнения вызывает также целесообразность использования стандартной семантики возможных миров в качестве удовлетворительного средства анализа модальностей знания и веры (мнения), поскольку эта семантика неизбежно ведет к парадоксу логического всеведения. Пусть «Az>B» означает утверждение «если А, то В». Тогда логическое всеведение можно выразить с помощью одной из следующих форм:

1) Если утверждение К А, соответственно В А, истинно в возможном мире щ а АзВ логически общезначимо, то К В, соответственно В В, истинно в w.

а а

2) Если утверждение А логически общезначимо, то К А, соответственно В А, истинно в возможном мире w.

Последнюю форму логического всеведения обычно связывают с интерпретацией одного эпизода диалога Платона «Менон», в котором необученному рабу помогут вывести одно утверждение геометрии. Из такой интерпретации следует, что агент (в данном случае раб) знает все тавтологии логики. Логическое всеведение в обеих формах возникает в стандартной семантике возможных миров, если К А (В_аА) не интерпретируется в терминах потенциальной познаваемости (имплицитной веры). В самом деле, если утверждение Az>B общезначимо, то оно истинно во всех возможных мирах. С др. стороны, истинность К А (В А) в возможном мире w означает, что А истинно в каждом я-достижимом из w возможном мире и, но тогда поскольку Аз ВИСТИННОВ О всех возможных мирах, В также будет истинным в каждом я- достижимом из w возможном мире и. Получается, что в случае (1) агент знает все следствия своего знания (верит во все следствия своего мнения), а случае (2) ему известны все общезначимые утверждения (т.е. тавтологии) классической логики (он верит во все классические тавтологии).

Позже Хинтикка внес поправку в свою первоначальную трактовку модальностей знания и веры, положив в основу их анализа семантику невозможных возможных миров. Идеализацию, содержащуюся в анализе знания и веры с помощью стандартных возможных миров, он признал слишком сильной. Согласно новому подходу Хинтикки, ограниченность агента проявляется в его неспособности обнаруживать некоторые противоречия. Агент знает все следствия, выводимые с помощью поверхностных (но не глубинных) тавтологий (т.е. отрицаний тривиальных в некотором смысле противоречий). Поэтому какие-то противоречия могут быть совместимыми со всем тем, что агент знает или во что верит в некотором возможном мире. При допущении логически невозможных возможных миров, т.е. возможных миров, в которых не истинны некоторые классические тавтологии или истинны некоторые классические противоречия, парадокс логического всеведения приобретает следующую форму:

3) Если утверждение А противоречиво, то К А, соответственно В А, ложно в возможном мире w.

Положение (3) парадоксально для семантики невозможных возможных миров, так как в ней некоторые противоречия могут быть истинными.

Охарактеризуем теперь агента пропозициональной установки. Предполагается, что агент не забывает то, что он знает и во что он верит, а также не приобретает нового знания и не меняет своего мнения. В противном случае, утверждения К А и —,КяА, а также ВяА и -ВяА, не были бы противоречащими друг другу.

Далее, знание и мнение допускают рассмотрение агентов с различными способностями осмысления своего знания и мнения. Некоторые агенты не всегда осмысливают свое знание и мнение, др. делают это всегда, а немногим даже удается занять позицию Сократа: если они не знают А, то они знают, что не знают А, а если они не верят в А, то они верят, что не верят в А.

Различные эпистемические и доксастические системы отличаются друг от друга свойствами отношения я-достижимости между возможными мирами, поскольку общезначимость многих утверждений зависит от этих свойств. В самой слабой Э. л. отношение я-достижимости между возможными мирами должно быть рефлексивным (т.е. каждый возможный мир должен быть я-достижимым из себя). Это гарантирует общезначимость утверждения KAZDA (если агент знает А, то А свершится). Но, вообще говоря, это не верно по отношению к мнению. Будучи твердо уверенным, что он проложил новый морской путь в Индию, Колумб, на самом деле, открыл Америку, о существовании которой он и не подозревал. Поэтому утверждение ВАг>А не характеризует веру и должно быть отвергнуто, поскольку наша вера не всегда осуществляется. Однако в самой слабой доксастической логике содержится утверждение BJJjAA), гласящее: агент верит, что если он верит в А, то А свершится. Для общезначимости последнего утверждения отношение я-достижимости между возможными мирами должно быть слабо рефлексивным (т.е. если из w а-достижим v, то из v я-достижим v). А для того, чтобы общезначимыми оказались утверждения КАпККА, соответственно В Аз Л В А, выражающие осмысленное знание и, соответственно, осмысленную веру, отношение я-достижимости между возможными мирами должно быть транзитивным (т.е. если из w а-достижим v, а из v — и, то из w а-достижим и). Наконец, для утверждений выражающих сократовскую позицию—iK АзК_а—.К А, соответственно -пВ_аАзВ_а—iB_aA, отношение а-достижимости между возможными мирами должно быть евклидовым (т.е. если из w а-достижимы v и и, то из v а-достижим и).

Стандартная семантика возможных миров отвлекается от ограниченности познавательных возможностей агента, горизонт знаний которого полностью не охватывает факты возможного мира. Поэтому об обстоятельствах, не попавших в поле его зрения, агент не может судить, осуществлены они или нет в данном возможном мире.

Один из вариантов нестандартной семантики возможных миров получается таким обобщением понятия стандартного возможного мира, в котором опускается требование, чтобы каждое атомарное утверждение было либо истинным, либо ложным. Так, определенный возможный мир называют частичным или фрагментарным для выражения того, что в нем некоторое атомарное утверждение может быть неопределенным, т.е. ни истинным, ни ложным.

В стандартном возможном мире каждое атомарное утверждение истинно или ложно и невозможно, чтобы в одно и то же время оно было и истинным, и ложным. Мы же должны найти эпистемический, познавательный аспект его представления. С этой целью обобщим понятие стандартного возможного мира w и потребуем лишь то, чтобы в w никакое атомарное утверждение в одно и то же время не было и истинным и ложным следующим образом. Назовем такой возможный мир w частичным или фрагментарным для выражения того, что в нем некоторое атомарное утверждение может быть неопределенным, т.е. ни истинным, ни ложным. Если, кроме того, w стандартен (т.е. любое атомарное утверждение либо истинно, либо ложно в w), мы его будем называть тотальным.

Сформулируем теперь условия истинности для предложений, выражающих модальности знания и веры: положение К А (В А) истинно в w, если предложение А истинно и, следовательно, определено в каждом д-достижимом из w возможном мире и, среди которых могут также быть частичные миры. Соответственно, положение К А (В А) ложно в w, если найдется а-достижимый из w возможный мир и, такой, что предложение А ложно или неопределенно в и.

Законы Э. л., соответственно доксастической, выражаются утверждениями, истинными во всех тотальных возможных мирах, т.е. общезначимость предложений определяется только для тотальных возможных миров. Таким образом, истинность К_аА (В А) зависит от множества возможных миров, которое содержит непустое подмножество тотальных возможных миров, свойств отношения й-достижимости между возможными мирами и оценки предложения А в возможных мирах.

Легко можно убедиться, что в семантике частичных возможных миров логическое всеведение не возникнет ни в форме (1), ни в форме (2). В самом деле, в первом случае, утверждение В может оказаться неопределенным по крайней мере в одном а-достижимом из тотального возможного мира w в частичном возможном мире и. Это означает, что К В (соответственно В В) ложно в возможном мире w. С др. стороны, А вполне может быть истинным во всех а-достижимых из w возможных мирах. Это означает, что К А (соответственно В А) истинно в возможном мире w. А поскольку Az>B общезначимо, оно также истинно в w. Следовательно, из истинных в тотальном возможном мире w утверждений АзВ и К А (соответственно В А) не может логически следовать ложное в w утверждение KB (соответственно В В). Во втором случае, поскольку утверждение А общезначимо, оно истинно в некотором тотальном возможном мире w, из которого я-достижим по крайней мере один частичный возможный мир и. В нем утверждение А также может быть неопределенным. Это означает, что К_аА (соответственно В А) ложно в w. Следовательно, из истинного в w утверждения А не может логически следовать ложное в w утверждение К А (соответственно В А).

Надо подчеркнуть, что при этом не приходится принимать неестественное, на наш взгляд, допущение относительно совместимости некоторых противоречий со всем тем, что агент знает или во что верит в данном возможном мире, — допущение, которое подразумевается при рассмотрении невозможных возможных миров.

Семантика частичных возможных миров позволяет более естественно истолковать упомянутый выше эпизод из диалога «Менон». Раб не может знать ни одну логическую тавтологию, поскольку они не содержат фактического знания. Он правильно начинает рассуждать лишь тогда, когда ему сообщат (согласно учению Платона, помогут припомнить) необходимое для получения правильного заключения знание. Агент способен выводить только те логические следствия, достаточные основания которых он актуально знает. Таким образом, в семантике частичных возможных миров границы ограниченности агента связываются со следствиями его фактического знания. Поэтому с тем, что агент знает или во что он верит, совместимы все классические тавтологии. Но, в отличие от невозможных возможных миров, агент не может, в принципе, знать ни одного противоречия, которые ни в одном возможном мире не совместимы со всем тем, что агент может в нем знать или полагать. Поэтому в семантике частичных возможных миров логическое всеведение в форме (3) не является парадоксальным.

М.Н. Бежанишвили

Лит.: Бежанишвили М.Н. Некоторые эпистемические пропозициональные системы // Методы логических исследований. Тбилиси, 1987; Герасимова И.А. Окрестностные семантики для эпистемических логик // Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки. М., 1984; Костюк В.Н. Эпистемическая логика // Методы логического анализа. М., 1977; Хинтикка Я. В защиту невозможных возможных миров // Логико-эпистемологические исследования. М., 1980; Hintikka J. Knowledge and Belief. An Introduction to the Logic of the Two Notions. Ithaca, 1962; Levesque H.J. A Logic of Implicit and Explicit Belief // Proceedings NCAI, 1984; Shapiro S. (ed.) Introduction — Intensional Mathematics and Construcive Mathematics // Intensional Mathematics. North Holland, 1985.