доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — процедура, призванная убедить и убеждающая человека в истинности некоторого положения настолько, что с ее помощью он может убеждать в истинности этого положения других. В узком (собственно логическом) смысле под Д. понимается процесс обоснования истинности некоторого суждения с помощью других суждений, истинность которых установлена ранее и независимо от доказываемого суждения. В этом случае Д. может рассматриваться как лингвистическая конструкция, определенная последовательность предложений какого-то языка, каждый шаг в которой вытекает из предыдущих шагов.

Д. должно убедить, вообще говоря, не только в том, что некоторое положение истинно, но и в том, что оно не может быть ложным. На опыте мы можем убедиться, что, напр., роза красная, но не в том, что роза не может быть красной. Д., что a² + b² = c², не только убеждает в том, что a² + b² = c², но и в том, что иным результат сложения a² и b² быть не может.

Д. (особенно в логике и математике) обычно представляет собой более или менее краткую схему формального вывода (в определенном языке). Положение, истинность которого обосновывается в результате Д., называется тезисом. Положения, с помощью которых происходит это обоснование, называются аргументами, а процедура связи тезиса и аргументов, которая ведет к тому, что человек убеждается в истинности тезиса ввиду достаточности выдвинутых в его поддержку аргументов, называется демонстрацией (или собственно Д.). Исходные суждения также называются посылками, а результат Д. — заключением.

Доказательностью может обладать и конкретное действие (напр., установление идентичности личности, предъявление улик, вещественных доказательств в ходе расследования или судебного процесса) или установление качества вещи путем ее испытания.

Если логическое Д. может оцениваться с точки зрения его правильности или неправильности, то юридическое Д. может быть сильным или слабым.

Для понимания и принятия Д. существенное значение имеют психологические факторы, которые обусловлены самим характером Д. — его обозримостью, последовательностью, использованием приемлемых абстракций и правил вывода одних истинных суждений из других. О строгости и убедительности Д. можно говорить лишь в историческом смысле, поскольку разные поколения исследователей и представители тех или иных подходов и направлений в науке могут принимать или не принимать какие-то абстракции и/или правила вывода (напр., абстракция актуальной бесконечности и метод Д. от противного не принимаются в интуиционистской математике).

Тезис Д. (или теорема) возникает в голове отдельного ученого, и в этом смысле любое творчество — всегда и везде — имманентно личностно. Однако смысл деятельности ученого кроется в стремлении придать испытанному им озарению (как внутриличностному феномену) общезначимую форму, найти в конечном счете обозримое и воспроизводимое Д. тезиса, смутные очертания которого, возможно, являются плодом посетившего его озарения. Это обстоятельство придает Д. статус этической процедуры, глубинное значение которой состоит, по-видимому, в том, что ученый «поручается» перед своими коллегами в верности озарения, в том, что «сумасшедшая» идея на самом деле имеет право на существование. Она — благодаря Д. — воспроизводима и проверяема каждым компетентным членом научного сообщества.

Прогресс науки и технологии ведет к смещению факторов принятия Д. в область их непрямой оценки. Так, Д. теоремы о четырех красках потребовало длительного перебора вариантов на компьютере, что лишало его обозримости. Иногда в качестве критериев принятия неочевидного Д. служат ранее приобретенный авторитет автора Д., принадлежность его к определенной школе и т.д. В этом случае говорят о так называемом синдроме Саймона, когда доказательство принимается, поскольку мнение некоего Саймона перевешивает любые рациональные оценочные суждения. Это говорит о том, что эволюционирует не только представление о строгости Д., но и развиваются факторы и условия его принятия.

В.А. Бажанов

Лит.: Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. М., 1987; Kitcher H. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford, 1984; Lakatos I. What Does Mathematical Proof Prove? // Mathematics, Science and Epistemology. Vol. 2. Cambridge, 1990; Essays on Proof // Detlefsen M. (ed.). L., 1991; Kleiner I. Rigor and Proof in Mathematics. A Historical Perspective // Mathematical Magazine. 1991. Vol. 6 4. № 5; Thurston W.P. On Proof and Progress in Mathematics // Bulletin of AMS. 1994. Vol. 30. № 2; Jaffe A. Proof and Evolution in Mathematics // Synthesis. 1997. Vol. 111. №2.